Question

已知在空间四边形ABCD中，AB=CD=3，点E、F分别是边BC和AD上的点，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=

7

，求异面直线AB和CD所成角的大小．

Answer 1

分析：在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、GE，可证∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成角，在△EFG中由余弦定理可得，∠EGF=120°，可得答案．

解答：解：（如图）在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、GE，
在△BCD中，可得

BG

GD

=

BE

EC

，故有EG∥DC，
同理在△ABD中，可得GF∥AB，
所以∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成角，
在△BCD中，由GE∥CD，CD=3，

EG

CD

=

1

3

，得EG=1，
在△ABD中，由FG∥AB，AB=3，

FG

AB

=

2

3

，得FG=2，
在△EFG中，由EG=1，FG=2，EF=

7

，由余弦定理可得，
cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG•FG

=-

1

2

，所以∠EGF=120°，
所以异面直线AB和CD所成角为60°

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及余弦定理的应用，属中档题．