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如图所示,已知椭圆C:+y2=1,在椭圆C上任取不同两点A,B,点A关于x轴的对称点为A′,当A,B变化时,如果直线AB经过x轴上的定点T(1,0),则直线A′B经过x轴上的定点为________.
(4,0)
设直线AB的方程为x=my+1,由得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0.
记A(x1,y1),B(x2,y2),则A′(x1,-y1),且y1+y2=-,y1y2=-
当m≠0时,经过点A′(x1,-y1),B(x2,y2)的直线方程为.令y=0,得x=y1+x1y1+my1+1=+1=+1=+1=4,所以y=0时,x=4.
当m=0时,直线AB的方程为x=1,此时A′,B重合,经过A′,B的直线有无数条,当然可以有一条经过点(4,0)的直线.当直线AB为x轴时,直线A′B就是直线AB,即x轴,这条直线也经过点(4,0).综上所述,当点A,B变化时,直线A′B经过x轴上的定点(4,0).
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