Question

【题目】从数列中取出部分项组成的数列称为数列的“子数列”.

（1）若等差数列的公差，其子数列恰为等比数列，其中，，，求；

（2）若，，判断数列是否为的“子数列”，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）3n﹣1﹣n（2）见解析

【解析】

（1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得首项和公差的关系，可得等比数列的公比，结合等比数列的通项公式，可得kn＝23n﹣1﹣1，再由数列的分组求和，即可得到所求和；

（2）数列{bn}为{an}的“子数列”．由3k﹣2＝4n，可得3k＝4n+2，运用二项式定理即可得证．

（1）等差数列{an}的公差d≠0，其子数列{a}恰为等比数列，

其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，可得aa1，aa5，aa17，

且有a52＝a1a17，即（a1+4d）2＝a1（a1+16d），

化为a1＝2d，则an＝a1+（n﹣1）d＝（n+1）d，

子数列{a}为首项为2d，公比为3的等比数列，

则a2d3n﹣1＝（kn+1）d，可得kn＝23n﹣1﹣1，

则k1+k2+…+kn＝（2+6+…+23n﹣1）﹣n

n＝3n﹣1﹣n；

（2）若an＝3n﹣2，bn＝4n，数列{bn}为{an}的“子数列”．

由3k﹣2＝4n，可得3k＝4n+2，

由4n＝（1+3）n＝1+C3+C32+…+3n，

即有4n+2＝3（1+CC3+…+3n﹣1），显然为3的倍数，

故数列{bn}为{an}的“子数列”．