Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两端点B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为5

2

．
（1）求此时椭圆C的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，

3

3

）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，
∴b=c，
∴a²=b²+c²=2b²，
设椭圆的方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，N（0，3）
设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得 b=-3±5

2

（舍去），
②若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，
∴所求的椭圆的方程为：

x2

32

+

y2

16

=1．
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入

x2

32

+

y2

16

=1得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-32）=0．
由直线l与椭圆相交于不同的两点知△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-32）＞0，
m²＜32k²+16．②
要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须KPQ=-

1

k

设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则xQ=

x1+x2

2

=-

2km

1+2k2

，yQ=kxQ+m=

m

1+2k2

∵KPQ=

m 1+2k2 + 3 3

- 2km 1+2k2

=-

1

k

解得m=

1+2k2

3

．③
由②、③得

(1+2k2)2

3

＜32k2+16
∴-

1

2

＜k2＜

47

2

，
∵k²＞0，
∴0＜k2＜

47

2

∴-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

故当-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．