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    精英家教网已知半椭圆
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1 (y≥0)    和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1 (y≥0)    内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x2+y2=b2（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点M(
    		6
    3
    ，-
    		3
    3
    )    时，△AGP的面积最大．
    （1）求曲线C的方程；
    （2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE2+BF2为定值．
    分析：（1）由题设条件知(
    		6
    3
    )2+(-
    		3
    3
    )2=b2    ，所以b=1，由此可知半圆x2+y2=b2（y≤0）在点M处的切线与直线AG平行，所以OM⊥AG，kAG=
    		2
    =
    a
    b
    ，所以a=
    		2
    ，所以曲线C的方程为x2+
    y2
    2
    =1 (y≥0)    或x2+y2=1（y≤0）．
    （2）设P（x0，y0），则有直线PC的方程为y-
    		2
    =
    y0-
    		2
    x0-1
    (x-1)    ，令y=0，得B1，所以AE=2-
    		2
    (x0-1)
    y0-
    		2
    ；直线PD的方程为y-
    		2
    =
    y0-
    		2
    x0+1
    (x+1)    ，令y=0，得xF=-1-
    		2
    (x0+1)
    y0-
    		2
    ，BF=2+
    		2
    (x0+1)
    y0-
    		2
    ．由此入手能够推导出AE2+BF2为定值．
    解答：解：（1）已知点M(
    		6
    3
    ，-
    		3
    3
    )
    在半圆x2+y2=b2（y≤0）上，
    所以(
    		6
    3
    )2+(-
    		3
    3
    )2=b2    ，又b＞0，
    所以b=1，当半圆x2+y2=b2（y≤0）
    在点P处的切线与直线AG平行时，
    点P到直线AG的距离最大，
    此时△AGP的面积取得最大值，
    故半圆x2+y2=b2（y≤0）
    在点M处的切线与直线AG平行，
    所以OM⊥AG，又kOM=
    yM-0
    xM-0
    =-
    		2
    2
    ，
    所以kAG=
    		2
    =
    a
    b
    ，又b=1，所以a=
    		2
    ，（4分）
    所以曲线C的方程为x2+
    y2
    2
    =1 (y≥0)    或x2+y2=1（y≤0）．
    （2）点C(1，
    		2
    )    ，点D(-1，
    		2
    )    ，
    设P（x0，y0），则有直线PC的方程为y-
    		2
    =
    y0-
    		2
    x0-1
    (x-1)    ，
    令y=0，得x=1-
    		2
    (x0-1)
    y0-
    		2
    ，
    所以AE=2-
    		2
    (x0-1)
    y0-
    		2
    ；
    直线PD的方程为y-
    		2
    =
    y0-
    		2
    x0+1
    (x+1)    ，
    令y=0，得xF=-1-
    		2
    (x0+1)
    y0-
    		2
    ，
    所以BF=2+
    		2
    (x0+1)
    y0-
    		2
    ；
    则AE2+BF2=[2-
    		2
    (x0-1)
    y0-
    		2
    ]2+[2+
    		2
    (x0+1)
    y0-
    		2
    ]2
    =
    4
    x
    2
    0
    +4
    (y0-
    		2
    )    2
    +
    8
    		2
    y0-
    		2
    +8    ，
    又由x02+y02=1，得x02=1-y02，
    代入上式得AE2+BF2=
    8-4
    y
    2
    0
    (y0-
    		2
    )    2
    +
    8
    		2
    y0-
    		2
    +8
    =
    8-4
    y
    2
    0
    +8
    		2
    (y0-
    		2
    )
    (y0-
    		2
    )    2
    +8
    =
    -4(y0-
    		2
    )    2
    (y0-
    		2
    )    2
    +8=4    ，所以AE2+BF2为定值．
    点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，且
    m
    =(
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    )，
    n
    =(
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    )    ，若
    m
    •
    n
    =0    ．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•烟台一模）直线l与椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，已知
    m
    =（ax1，by1），
    n
    =（ax2，by2），若
    m
    ⊥
    n
    且椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，又椭圆经过点(
    		3
    2
    ，1)    ，O为坐标原点．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；
    （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知半椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（
    		6
    3
    ，-
    		3
    3
    ）时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程为
    y2
    2
    +x2=1    （y≥0）
    y2
    2
    +x2=1    （y≥0）
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1    的一个焦点为F(0，2
    		2
    )    ，与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点（如图），向量
    AB
    与向量
    m
    =(-1，
    		2
    )    共线．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）若斜率为k的直线过点C（0，2），且与椭圆交于P，Q两点，求△POC与△QOC面积之比的取值范围．

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