Question

定义在R上的函数y=f（x）满足条件：f（x）不是常值函数，且f（2-x）=f（x）与f（x-1）=f（x+1）对任意x∈R成立，给出下列四个命题：
①f（x）为周期函数；
②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（x）的图象关于y轴对称；
④f（x）的图象关于原点成中心对称．
其中所有正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：在f（x）=f（2-x）中，令x=t+2：f（t+2）=f（-t），所以f（x+2）=f（-x），在f（x-1）=f（x+1）中，令x=t+1：f（t）=f（t+2），所以f（x）=f（x+2），故函数是周期为2的周期函数，f（x）的图象关于直线x=1对称，f（x）是偶函数；由f（x）的图象关于直线x=1对称，且f（x）的图象关于y轴对称，知f（x）的图象不能关于原点成中心对称．

解答：解：在f（x）=f（2-x）中，令x=t+2：f（t+2）=f（-t），所以f（x+2）=f（-x）
在f（x-1）=f（x+1）中，令x=t+1：f（t）=f（t+2），所以f（x）=f（x+2），
∴函数是周期为2的周期函数，f（x）的图象关于直线x=1对称，故①和②正确；
由f（x+2）=f（-x）和f（x）=f（x+2），知：f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数，故③正确；
∵f（x）的图象关于直线x=1对称，且f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象不能关于原点成中心对称，故④不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的周期性和对称性的灵活运用．