Question

给出下列说法：
①命题“若α=

π

6

，则sin α=

1

2

”的否命题是假命题；
②命题p：“?x₀∈R，使sin x?＞1”，则?p：“?x∈R，sin x≤1”；
③“φ=

π

2

+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；
④命题p：“?x∈（0，

π

2

），使sin x+cos x=

1

2

”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．
其中正确结论的个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：①先求出否命题，然后去判断．②利用特称命题和全称命题否定之间的关系判断．③利用充分必要条件的关系判断．④利用复合命题的与简单命题之间的关系进行判断．

解答：解：①原命题的否命题为“若α≠

π

6

，则sin α≠

1

2

”，当α=

5π

6

时，满足α≠

π

6

，但sin α=

1

2

，所以原命题的否命题是假命题，所以①的判断正确．
②特称命题的否定是全称命题，所以?p：“?x∈R，sin x≤1，所以②正确．
③若函数y=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=

π

2

+kπ（k∈Z），所以φ=

π

2

+2kπ（k∈Z）不是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，所以③错误．
④因为sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，当x∈（0，

π

2

）时，

π

4

＜x+

π

4

＜

π

2

，此时1＜

2

sin?(x+

π

4

)＜

2

，所以命题p为假命题．
在△ABC中，若sin A＞sin B，由正弦定理得a＞b，根据大边对大角关系可得，A＞B，所以命题q为真，所以￢p为真，所以命题￢p∧q为真命题，所以④正确．
故选B．

点评：在④中，y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)是我们求三角函数值域时，最常用的公式，本题中对x的范围有限制，故要结合自变量的取值范围，进行判断，命题q要用到正弦定理和三角形中的边角关系．