精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c(a<b<c),已知2acosC+2ccosA=a+c.
(1)若3c=5a,求$\frac{sinA}{sinB}$的值;
(2)若2csinA-$\sqrt{3}$a=0,且c-a=8,求△ABC的面积S.

分析 (1)根据正弦定理即可求出$\frac{sinA}{sinB}$的值
(2)由2csinA-$\sqrt{3}$a=0可以求出C的大小,再根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出答案.

解答 解:(1)∵2acosC+2ccosA=a+c,
由正弦定理:2sinAcosC+2sinCcosA=sinA+sinC,
∴sinA+sinC=2sin(A+C)=2sin(π-B)=2sinB,
∵3c=5a,
由正弦定理:3sinC=5sinA,
∴$2sinB=sinA+sinC=\frac{8}{3}sinA$,
∴$\frac{sinA}{sinB}=\frac{3}{4}$.                         
(2)由$2csinA-\sqrt{3}a=0$得:$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∵C∈(0,π),∴$C=\frac{π}{3}$或$C=\frac{2π}{3}$
当$C=\frac{π}{3}$时,
∵a<b<c,
∴A<B<C,此时A+B+C<π,舍去,
∴$C=\frac{2π}{3}$,
由(1)可知:a+c=2b,
又∵c-a=8,
∴b=a+4,c=a+8,
∴${(a+8)^2}={a^2}+{(a+4)^2}-2a•(a+4)cos\frac{2π}{3}$,
∴a=6或a=-4(舍)                                        
所以$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×6×10×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=15\sqrt{3}$

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

12.在△ABC中,边AC=1,AB=2,角A=$\frac{2}{3}π$,过A作AP⊥BC于P,且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$,则λμ=(  )
A.$\frac{10}{49}$B.$\frac{12}{49}$C.$\frac{6}{25}$D.$\frac{4}{25}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.已知tan(α+β)=$\frac{2}{3}$,tan(β-$\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{2}$,则tan(α+$\frac{π}{4}$)=(  )
A.$\frac{1}{8}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.$\frac{1}{6}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.已知圆C经过点(1,$\sqrt{3}$),圆心在直线y=x上,且被直线y=-x+2截得的弦长为2$\sqrt{2}$.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l过点($\frac{3}{2}$,0),与圆C交于P,Q两点,且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-2,求直线l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.在(1+x+x2)(1-x)10展开式中,x4的系数为(  )
A.C${\;}_{9}^{4}$+C${\;}_{9}^{1}$B.C${\;}_{9}^{4}$-C${\;}_{9}^{1}$
C.C${\;}_{10}^{4}$+C${\;}_{10}^{3}$+C${\;}_{10}^{2}$D.C${\;}_{10}^{4}$-C${\;}_{10}^{3}$-C${\;}_{10}^{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.写出命题“?x∈R,使得x2<0”的否定:?x∈R,均有x2≥0.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

14.不等式$\frac{x+1}{x-3}$≥0的解集是(  )
A.(-∞,-1]∪(3,+∞)B.[-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.[-1,3]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.求经过点(-2,-3),并在x轴上的截距为2的直线方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

12.已知命题p:“?x∈R,x≥2,那么命题¬p为?x∈R,x<2.

查看答案和解析>>

同步练习册答案