Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点（2 ，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：2b=a，
将（2 ，1）代入椭圆方程： ，
解得：b2=4，a2=16，
∴椭圆E的方程 ；
（Ⅱ）由丨PM丨2=（x﹣2）2+y2 ， 由P（x，y）在椭圆上，（﹣4≤x≤4）则y2=4﹣ ，
∴丨PM丨2=x2﹣4x+4+4﹣ = x﹣4x+8= （x+ ）+ ，
∴当x=﹣ 时，丨PM丨取最小值，最小值为 ，
∴当x=﹣ ，解得：y=± ，
∴|PM|的最小值 ，P点的坐标（﹣ ，± ）．

【解析】（Ⅰ）由题意求得2b=a，将点（2 ，1），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）利用两点之间的距离公式，求得丨PM丨2=（x﹣2）2+y2 ， 由P在椭圆上，则y2=4﹣ ，代入利用二次函数的性质，即可求得|PM|的最小值及P点坐标．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．