Question

1．已知cos（x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{3}$（$\frac{5π}{4}$＜x＜$\frac{7π}{4}$），则sin2x-cos2x=（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{2}-7}{9}$
• B． $\frac{-4\sqrt{2}-7}{9}$
• C． $\frac{4-7\sqrt{2}}{9}$
• D． $\frac{-4-7\sqrt{2}}{9}$

Answer 1

分析 由$\frac{5π}{4}$＜x＜$\frac{7π}{4}$结合已知条件可求得sin（x+$\frac{π}{4}$ ）的值，进一步求出cos（x+$\frac{π}{4}$ ），再由两角和与差的余弦公式得到①、②，求解得sinx，cosx的值，再由二倍角公式计算得答案．

解答 解：由$\frac{5π}{4}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，cos（x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{3}$，
可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx+\frac{\sqrt{2}}{2}sinx=-\frac{1}{3}$，①
得$sin（x+\frac{π}{4}）=-\frac{1}{3}$．且$x+\frac{π}{4}∈（\frac{3π}{2}，2π）$，
∴$cos（x+\frac{π}{4}）=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}sinx=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，②
由①、②解得$sinx=\frac{-4-\sqrt{2}}{6}$，$cosx=\frac{4-\sqrt{2}}{6}$．
∴sin2x=2sinxcosx=$2×（\frac{-4-\sqrt{2}}{6}）×（\frac{4-\sqrt{2}}{6}）=-\frac{7}{9}$．
cos2x=cos²x-sin²x=$（\frac{4-\sqrt{2}}{6}）^{2}-（\frac{-4-\sqrt{2}}{6}）^{2}=\frac{-4\sqrt{2}}{9}$．
则sin2x-cos2x=$-\frac{7}{9}+\frac{4\sqrt{2}}{9}=\frac{4\sqrt{2}-7}{9}$．
故选：A．x-$\frac{π}{4}$

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数间的关系式与二倍角公式、两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题．