解:(1)由题意知,2a=4,∴椭圆C的方程为
,把点A(1,
)代入,得
,解得b
2=3,c
2=1,∴椭圆C的方程是
,焦点坐标是F
1(-1,0),F
2(1,0)
(2)在椭圆
上取关于原点对称的两点M、N,在该曲线上任取不与M、N重合的动点P,直线PM,PN的斜率存在.那么
证明:设椭圆方程是
,设M(m,n),则N(-m,-n),又设P(x,y),(x≠±m,),那么
①且
②
因为
,由①知:
,由②
,所以
,所以
=
分析:(1)由题意知2a=4,把点A(1,
)代入能推导出椭圆C的方程和焦点坐标.
(2)在椭圆
上取关于原点对称的两点M、N,在该曲线上任取不与M、N重合的动点P,直线PM,PN的斜率存在.那么
.
证明:设椭圆方程是
,设M(m,n),则N(-m,-n),又设P(x,y),(x≠±m,),那么
且
,由此能够推导出
=
.
点评:本题考查椭圆的性质及其应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的正确选用.