Question

3．函数y=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$关于点（2，$\frac{1}{8}$）对称．

Answer 1

分析 设函数y=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$关于点P（a，b）对称，点A（x，y）是f（x）=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$的图象上一点，利用对称性求出与A与关于点P对称的点A′的坐标，分别代入函数解析式化简后，利用纵坐标相等列出方程，利用系数相等列出方程组求出a、b的值．

解答 解：设函数y=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$关于点P（a，b）对称，
∵f（x）=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$的图象关于点P对称，设点A（x，y）是f（x）=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$的图象上一点，
∴f（x）=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$的图象必有一点A′（x′，y′），使得点A与点A′关于点P对称，
即x+x′=2a，y+y′=2b，
∴x′=2a-x，y′=2b-y，
∵y=f（x）=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$，y′=f（x′）=$\frac{1}{4{-2}^{x′}}$=$\frac{1}{4{-2}^{2a-x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x+2}{-2}^{2a}}$，
又y′=2b-y=2b-$\frac{1}{4{-2}^{x}}$=$\frac{8b-1-b•{2}^{x+1}}{4{-2}^{x}}$，
∴$\frac{8b-1-b•{2}^{x+1}}{4{-2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x+2}{-2}^{2a}}$=$\frac{{-2}^{x}}{{2}^{2a}{-2}^{x+2}}$=$\frac{{-2}^{x}}{{4（2}^{2a-2}{-2}^{x}）}$，
则$\frac{8b-1-b•{2}^{x+1}}{4{-2}^{x}}$=$\frac{{-2}^{x}}{{4（2}^{2a-2}{-2}^{x}）}$=$\frac{{-\frac{1}{4}•2}^{x}}{{2}^{2a-2}{-2}^{x}}$，所以$\left\{\begin{array}{l}{8b-1=0}\\{-2b=-\frac{1}{4}}\\{2a-2=2}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\frac{1}{8}$，
∴点P的坐标为（2，$\frac{1}{8}$），
故答案为：（2，$\frac{1}{8}$）．

点评 本题考查函数图象关于中心对称的性质，以及对称中心的坐标求法，考查化简、变形能力，方程思想．