Question

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE、AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用P、Q分别是AE、AB的中点?PQ∥BE，PQ=

1

2

BE，再利用DC∥BE，DC=

1

2

BE可以推出PQ∥DC进而证明PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）取BE的中点F，可以先推出QF∥AE且QF=

1

2

AE，所以∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角，然后在△DFQ中求出
∠DFQ的余弦值即可．
（Ⅲ）由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB，再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，进而推出DP⊥平面ABE，所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角，在△DAP中求出∠DAP即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：由已知：P、Q分别是AE、AB的中点，
所以，PQ∥BE，PQ=

1

2

BE，
又DC∥BE，DC=

1

2

BE
所以，PQ∥DC
所以，PQ∥平面ACD（4分）

（Ⅱ）取BE的中点F，连接QF，DF，DQ，可以推出QF∥AE且QF=

1

2

AE，
易证∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角
易知CQ=1，AB=2

3

，AE=4，QF=2，DF=BC=2，DQ=

2

由余弦定理：可得cos∠DFQ=

3

4

（8分）

（Ⅲ）由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB，
再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，进而推出DP⊥平面ABE
所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角
DP=CQ=1，AD=

5

?sin∠DAP=

5

5

所以AD与平面ABE所成角的正弦值为

5

5

．（12分）

点评：本题涉及了线面平行以及线线所成角和线面所成角，是对立体几何知识的综合考查．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．