Question

11．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间：
（2）若直线x=t（t∈（0，$\frac{π}{2}$）既是函数y=f（x）图象的对称轴又是函数g（x）=sin2x+acos2x图象的对称轴，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由条件求得t=$\frac{π}{6}$，再根据直线x=t=$\frac{π}{6}$ 是函数g（x）=sin2x+acos2x的图象的对称轴，可得g（0）=g（$\frac{π}{3}$），由此求得a的值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）由直线x=t（t∈（0，$\frac{π}{2}$）既是函数y=f（x）图象的对称轴，可得2t+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即t=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，∴t=$\frac{π}{6}$．
再根据直线x=t=$\frac{π}{6}$ 是函数g（x）=sin2x+acos2x 的图象的对称轴，
可得g（0）=g（$\frac{π}{3}$），即0+a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$a，求得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性以及图象的对称性，属于中档题．