Question

设直线l：y=kx+m与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，M、N是直线l上两点且

AM

=

MN

=

NB

，曲线C过点M、N．
（1）若曲线C的方程是x²+y²=20，求直线l的方程；
（2）若曲线C是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆且离心率e∈(0，

3

2

)，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析：由直线l：y=kx+m与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点可知直线过第I、II、IV象限，则直线的斜率小于0，截距大于0，又由

AM

=

MN

=

NB

，所以M，N为线段AB的两个三等分点．
（1）若曲线C的方程是x²+y²=20过M、N两点，则M，N两个点都在圆上，满足圆的方程，代入后，易得直线l的方程；
（2）若曲线C是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆且离心率e∈(0，

3

2

)，则将M，N两个点的坐标代入后，易得直线l斜率的不等式，解不等式后可能得到直线l斜率的取值范围．

解答：解：（1）由题意k＜0，m＞0A(-

m

k

，0)，B(0，m)，则M(-

2m

3k

，

m

3

)，N(-

m

3k

，

2m

3

)
代入圆的方程有

4m2 9k2 + m2 9 =20 m2 9k2 + 4m2 9 =20

解得k=-1，m=6（6分）
∴直线l的方程为y=-x+6
（2）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1
将点M(-

2m

3k

，

m

3

)，N(-

m

3k

，

2m

3

)代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1得：

4m2 9k2a2 + m2 9b2 =1 m2 9k2a2 + 4m2 9b2 =1

消去m得：k2=

b2

a2

=1-e2
∵e∈(0，

3

2

)，∴k2∈(

1

4

，1)又k＜0，
∴k∈(-1，-

1

2

)．

点评：解答本题的关键是根据已知条件，分析出直线l的斜率及截距的范围，即：
由直线l与x轴、y轴正半轴有交点，则直线过第I、II、IV象限，则直线的斜率小于0，截距大于0；
由直线l与x轴、y轴负半轴有交点，则直线过第II、III、IV象限，则直线的斜率小于0，截距小于0；
由直线l与x轴负半轴、y轴正半轴有交点，则直线过第I、II、III象限，则直线的斜率大于0，截距大于0；
由直线l与x轴正半轴、y轴负半轴有交点，则直线过第I、II、IV象限，则直线的斜率大于0，截距小于0；