Question

设函数f（x）=xsinx（x∈R）．
（Ⅰ）证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；
（Ⅱ）设x₀为f（x）的一个极值点，证明[f（x₀）]²=

x04

1+x02

；
（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a₁，a₂，…，a_n，…，
证明

π

2

＜a_n+1-a_n＜π（n=1，2，…）．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的和角公式，结合三角函数的诱导公式化简即可；
（2）题目中条件：“x₀为f（x）的一个极值点”可得，x₀是其导数的一个零点，由此得到一个方程，解之即得；
（3）由题意得：“x₀在第二或第四象限内”，结合正切函数的图象与性质讨论两极值点的差的范围．

解答：解：（Ⅰ）证明：由函数f（x）的定义，对任意整数k，有
f（x+2kπ）-f（x）=（x+2kπ）sin（x+2kπ）-xsinx=（x+2kπ）sinx-xsinx=2kπsinx．

（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域R上可导，f'（x）=sinx+xcosx①
令f'（x）=0，得sinx+xcosx=0．
显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，
上述方程化简为x=-tanx．此方程一定有解．f（x）的极值点x₀一定满足tanx₀=-x₀．
由sin²x=

sin2x

sin2x+cos2x

=

tan2x

1+tan2x

，得sin²x₀=

tan2x0

1+tan2x0

．
因此，[f（x₀）]²=x₀²sin²x₀=

x04

1+x02

．

（Ⅲ）证明：设x₀＞0是f'（x）=0的任意正实数根，即x₀=-tanx₀，
则存在一个非负整数k，使x₀∈（

π

2

+kπ，π+kπ），即x₀在第二或第四象限内．
由①式，f'（x）=cosx（tanx+x）在第二或第四象限中的符号可列表如下：

所以满足f'（x）=0的正根x₀都为f（x）的极值点．
由题设条件，a₁，a₂，，a_n，为方程x=-tanx的全部正实数根且满足a₁＜a₂＜＜a_n＜，
那么对于n=1，2，，a_n+1-a_n=-（tana_n+1-tana_n）=-（1+tana_n+1•tana_n）tan（a_n+1-a_n）． ②
由于

π

2

+（n-1）π＜a_n＜π+（n-1）π，

π

2

+nπ＜a_n+1＜π+nπ，
则

π

2

＜a_n+1-a_n＜

3π

2

，
由于tana_n+1•tana_n＞0，由②式知tan（a_n+1-a_n）＜0．
由此可知a_n+1-a_n必在第二象限，
即a_n+1-a_n＜π．综上，

π

2

＜a_n+1-a_n＜π．

点评：本题考查了三角函数的和角公式、诱导公式，函数的极值点、正切函数的图象与性质问题．