Question

（2013•辽宁）（选修4-5不等式选讲）
已知函数f（x）=|x-a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4-|x-4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f（x）≥4-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|≥4，直接求出不等式|x-2|+|x-4|≥4的解集即可．
（2）设h（x）=f（2x+a）-2f（x），则h（x）=

-2a，x≤0 4x-2a，0＜x＜a 2a，x≥a

．由|h（x）|≤2解得

a-1

2

≤x≤

a+1

2

，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）≥4-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|≥4，
当x≤2时，得-2x+6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，得2≥4，无解；
当x≥4时，得2x-6≥4，解得x≥5；
故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．
（2）设h（x）=f（2x+a）-2f（x），则h（x）=

-2a，x≤0 4x-2a，0＜x＜a 2a，x≥a

 由|h（x）|≤2得

a-1

2

≤x≤

a+1

2

，
又已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以

a-1 2 =1 a+1 2 =2

，
故a=3．

点评：本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．