Question

12．已知正项数列{a_n}、{b_n}中，a₁=1，b₁=2，a_n，b_n，a_n+1成等比数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等差数列，
（1）证明$\left\{{\sqrt{a_n}}\right\}$是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）令${c_n}=\frac{{4{a_n}+1}}{{4{a_n}-1}}$，前n项和为S_n，求使S_n＜2016的最大自然数n．

Answer 1

分析 （1）由已知${{b}_{n}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+1}$，2a_n+1=b_n+b_n+1．求出前四项后猜想${a}_{n}={n}^{2}$．b_n=n（n+1），再用数学归纳法证明，从而$\sqrt{{a}_{n}}$=n得到是首项为1，公差为1的等差数列，${a_n}={n^2}（n∈{N^*}）$．
（2）由${c_n}=\frac{{4{a_n}+1}}{{4{a_n}-1}}$=$\frac{4{n}^{2}+1}{4{n}^{2}-1}$=1+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），利用裂项求出法能求出使S_n＜2016的最大自然数n．

解答 证明：（1）∵正项数列{a_n}、{b_n}中，
a₁=1，b₁=2，a_n，b_n，a_n+1成等比数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等差数列，
∴${{b}_{n}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+1}$，2a_n+1=b_n+b_n+1．
∴a₂=4，b₂=2×4-2=6，
${a}_{3}=\frac{36}{4}$=9，b₃=2×9-6=12，
${a}_{4}=\frac{144}{9}$=16，b₄=2×16-12=20，
由此猜想${a}_{n}={n}^{2}$．b_n=n（n+1），
下面利用数学归纳法证明：
①n=1时，${a}_{1}={1}^{2}=1$，b₁=1×2成立．
②假设n=k时，成立，即${a}_{k}={k}^{2}$，b_k=k（k+1），
当n=k+1时，${a}_{k+1}=\frac{[k（k+1）]^{2}}{{k}^{2}}$=（k+1）²，b_k+1=2（k+1）²-k（k+1）=（k+1）（k+2），也成立，
∴${a}_{n}={n}^{2}$．b_n=n（n+1），
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=n，是首项为1，公差为1的等差数列，
 ${a_n}={n^2}（n∈{N^*}）$．
（2）∵${c_n}=\frac{{4{a_n}+1}}{{4{a_n}-1}}$=$\frac{4{n}^{2}+1}{4{n}^{2}-1}$=1+$\frac{2}{4{n}^{2}-1}$=1+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴前n项和S_n=n+$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$=n+1-$\frac{1}{2n+1}$．
∵S_n＜2016，∴$n+1-\frac{1}{2n+1}$＜2016，∴n-$\frac{1}{2n+1}＜2015$，
∴使S_n＜2016的最大自然数n为2015．

点评 本题考查等差列的证明，考查满足条件的实数值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法、裂项求和法的合理运用．