Question

已知抛物线和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求抛物线和双曲线标准方程；
（2）已知动直线m过点P（3，0），交抛物线于A，B两点，记以线段AP为直径的圆为圆C，求证：存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值，并求出直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设抛物线的方程为 y²=2px（p＞0），把点M（1，2）代入求得p的值，即可求得抛物线的方程．对于双曲线，由焦点坐标求得c的值，由双曲线的定义求得a，从而求得b的值，从而求得双曲线的标准方程．
（2）由题意可得，AP的中点为C，设A（x₁，y₁），则C（，）．设D、E是圆C上的两个点，且DE垂直于x轴，DE的中点为H，点D（x₂，y₂），则H（x₂，y₃），求得|DC|和|CH|、|DH|²，可得当x₂=2时，|DH|²=2，故弦长为|DE|=2|DH|=2 为定值，由此可得结论
解答：解：（1）设抛物线的方程为 y²=2px（p＞0），把点M（1，2）代入求得p=2，
∴抛物线的方程为  y²=4x，焦点坐标为F₁（1，0）．
对于双曲线，一个焦点坐标为F₁（1，0），则另一个焦点坐标为F₂（-1，0），
故c=1，2a=||MF₁|-|MF₂||=2-2，∴a=-1，∴b²=c²-a²=2-2．
故双曲线的标准方程为 ．
（2）由题意可得，AP的中点为C，设A（x₁，y₁），则C（，）．
设D、E是圆C上的两个点，且DE垂直于x轴，DE的中点为H，点D（x₂，y₂），则H（x₂，y₃），
|DC|=|AP|=，|CH|=|-x₂|=|（x₁-2x₂）+3|，
|DH|²=|DC|²-|HC|²=[+]-=（x₂-2）x₁-+3x₂ 
由x₂的任意性可得，当x₂=2时，|DH|²=-4+6=2，故弦长为|DE|=2|DH|=2 为定值．
故存在垂直于x轴的直线l（即直线DE），倍圆截得的弦长为定值，直线l的方程为 x=2．
点评：本题主要考查用待定系数法求抛物线和双曲线的标准方程，直线和圆相交的性质，属于中档题．