Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当m=1时，若方程在区间上有唯一的实数解，求实数a的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）分离a，得到a＝1，令g（x）＝1，根据函数的单调性求出a的范围即可.

（1）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=x+m+=，

m≥0时，f′（x）＞0， 故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；

m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为： △=m2-4m＞0，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；

（2）m=1时，由题意得：x2+x+lnx=x2+ax， 整理得：a=1+，

令g（x）=1+，g′（x）=，

令g′（x）＞0，解得：x∈（0，e），函数g（x）在（0，e）递增，

令g′（x）＜0，解得：x∈（e，+∞），函数g（x）在（e，+∞）递减；

若方程f（x）=x2+ax在[e，+∞）上有唯一实数根，

须求g（x）在[e，+∞）上的取值范围，

g（x）≤g（e）=1+，又g（x）=1+＞1，（x＞e）， ∴a的范围是g（）≤a≤1，

即1-e≤a≤1；