【题目】已知椭圆 的中心在原点焦点在 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点.
(1)求椭圆 的焦点;
(2)已知点 在椭圆 上,点 是椭圆 上不同于 的两个动点,且满足: ,试问:直线 的斜率是否为定值?请说明理由.
【答案】
(1)解:∵椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,∴设椭圆标准方程为 (a>b>0),
∵椭圆离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点.
焦点为(0,2 ),
∴b=2 …(1分)e= = ,a2﹣b2=c2 ,
∴解得a2=16,b2=12
∴椭圆C的标准方程
(2)解:直线 x=﹣2与椭圆 交点P(﹣2,3),Q(﹣2,﹣3)或P(﹣2,﹣3),Q(﹣2,3),∴|PQ|=6,设A (x1 , y1 ),B( x2 , y2),
当∠APQ=∠BPQ时直线PA,PB斜率之和为0.
设PA斜率为k,则PB斜率为﹣k.
当P(﹣2,3),Q(﹣2,﹣3)时,
PA的直线方程为y﹣3=k(x+2)
与椭圆联立得(3+4k2)x2+8k(2k+3)x+4(2k+3)2﹣48=0
∴ = ;
同理
∴
, y1﹣y2=k(x1+2)+3﹣[﹣k(x2+2)+3]=
直线AB斜率为
【解析】(1)利用已知条件结合椭圆与抛物线的基本性质即可求出b的值,结合椭圆的离心率求出a的值进而求出椭圆的方程。(2)根据已知条件求出直线PA、PB的方程,联立直线与椭圆的方程消元结合韦达定理推导出 x1 + x2的代数式进而得出x1x2的表达式由此就能求出AB的斜率的值。
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为x万元时,销售量t万件满足t=5- (其中0 x a,a为正常数),现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为5+ 万元/万件.
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
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【题目】数列{an}满足:a1=,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.
(1)证明:数列{an+1-an}是等差数列;
(2)求使+…+成立的最小的正整数n.
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【题目】《算法统综》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则塔从上至下的第三层有( )盏灯.
A.14
B.12
C.10
D.8
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【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
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