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【题目】已知椭圆 的中心在原点焦点在 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点.

(1)求椭圆 的焦点;
(2)已知点 在椭圆 上,点 是椭圆 上不同于 的两个动点,且满足: ,试问:直线 的斜率是否为定值?请说明理由.

【答案】
(1)解:∵椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,∴设椭圆标准方程为 (a>b>0),
∵椭圆离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点.
焦点为(0,2 ),
∴b=2 …(1分)e= = ,a2﹣b2=c2
∴解得a2=16,b2=12
∴椭圆C的标准方程
(2)解:直线 x=﹣2与椭圆 交点P(﹣2,3),Q(﹣2,﹣3)或P(﹣2,﹣3),Q(﹣2,3),∴|PQ|=6,设A (x1 , y1 ),B( x2 , y2),
当∠APQ=∠BPQ时直线PA,PB斜率之和为0.
设PA斜率为k,则PB斜率为﹣k.
当P(﹣2,3),Q(﹣2,﹣3)时,
PA的直线方程为y﹣3=k(x+2)
与椭圆联立得(3+4k2)x2+8k(2k+3)x+4(2k+3)2﹣48=0
= ;
同理

, y1﹣y2=k(x1+2)+3﹣[﹣k(x2+2)+3]=
直线AB斜率为
【解析】(1)利用已知条件结合椭圆与抛物线的基本性质即可求出b的值,结合椭圆的离心率求出a的值进而求出椭圆的方程。(2)根据已知条件求出直线PA、PB的方程,联立直线与椭圆的方程消元结合韦达定理推导出 x1 + x2的代数式进而得出x1x2的表达式由此就能求出AB的斜率的值。

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