Question

已知点P是双曲线

x2

9

-

y2

3

=1右支上的任意一点，由P点向双曲线的两条渐近线引垂线，垂足为M和N，则△PMN的面积为（　　）

• A．

  3

  9

• B．

  9

  16

• C．

  9 3

  16

• D．

  2 3

  9

Answer 1

分析：根据题意，算出双曲线的渐近线方程为y=±

3

3

x，可得渐近线的夹角为60°，由四边形内角和定理算出，∠MPN=120°．设P（m，n），根据点到直线的距离公式分别算出|PM|、|PN|关于m、n的式子，结合双曲线方程算出|PM|•|PN|=

3

4

，最后根据正弦定理的面积公式即可算出△PMN的面积．

解答：解：∵双曲线

x2

9

-

y2

3

=1的渐近线方程为y=±

3

3

x，即x±

3

y=0
∴两条渐近线的夹角为60°
∵PM⊥OM且PN⊥ON，∴∠MPN=120°
设P（m，n），可得
|PM|=

|m- 3 n|

2

，且|PN|=

|m+ 3 n|

2

可得|PM|•|PN|=

|m2-3n2|

4

=

3

4

因此，△PMN的面积为S=

1

2

|PM|•|PN|sin120°=

9 3

16

故选：C

点评：本题给出双曲线上一点P，P在两条渐近线上的射影点分别为M、N，求△PMN的面积．着重考查了双曲线的简单几何性质、四边形内角和定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．