Question

【题目】在四棱锥中中，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，，，，．

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）取的中点为，连接，由是等边三角形可得，再由底面为直角梯形，结合已知的边长可证得，于是得平面，从而证得结果；

（2）由条件可得可知两两垂直，所以以为坐标原点建立直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）证明：取的中点为，连接，因为是等边三角形，所以．

因为在直角梯形中，，，，所以

所以为等腰三角形，所以

因为，所以平面

因为平面，所以．

（2）解：因为，，为正三角形的边上的高，所以．

因为，所以，由（1）可知两两垂直．

以为坐标原点建立直角坐标系，则，，，

则，，

设平面的法向量为

则,即令得．

设平面的法向量为

则,即令，则

因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为．