Question

5．已知正数a，b满足a+4b=4，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵正数a，b满足a+4b=4，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）
=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$）
≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$）=$\frac{9}{4}$，
当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=$\frac{4}{3}$且b=$\frac{2}{3}$时取等号．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，“1”的代换是解决问题的关键，属基础题．