Question

如图所示,抛物线y=x²的动弦AB所在直线与圆x²+y²=1相切,分别过点A、B的抛物线的两条切线相交于点M,求点M的轨迹方程.

(文)已知函数f(x)=x³+(a-1)x²+bx(a、b为常数)在x=1和x=4处取得极值.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)当x∈［-2,2］时,函数y=f(x)的图象在直线5x+2y-c=0的下方,求实数c的取值范围.

Answer 1

答案：解法一:设抛物线的弦AB与圆x²+y²=1切于点P(x₀,y₀),则x₀²+y₀²=1,过P点的圆的切线方程为x₀x+y₀y=1.

由得y₀x²+x₀x-1=0.(*)

由Δ=x₀²+4y₀=-y₀²+4y₀+1＞0,得2＜y₀＜2+.

又∵-1≤y₀≤1且y₀≠0,∴2＜y₀≤1且y₀≠0.

令A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),知x₁、x₂是方程(*)的两个实根,由根与系数的关系,得x₁+x₂=①,x₁x₂=②.

过A点的抛物线的切线AM的方程为y-x₁²=2x₁(x-x₁),即y=2x₁x-x₁².③

同理,BM的方程为y=2x₂x-x₂².④

联立①②③④,解得∴x₀=

代入x₀²+y₀²=1得()²+()²=1,

整理,得y²-4x²=1(x∈R,y≤-1或y＞),这就是点M的轨迹方程.

解法二:设直线AB的方程为y=kx+b,且A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),

∵直线AB与圆相切,故=1,即b²=1+k².

由得x²-kx-b=0,

由Δ=k²+4b=b²+4b-1＞0,得b＜-2或b＞-2+.

又∵b²=1+k²≥1,∴b＜-2或b≥1.由根与系数关系有x₁+x₂=k,x₁x₂=-b.

又过点A的抛物线的切线方程为y-x₁²=2x₁(x-x₁),即y=2x₁x-x₁².①

同理,过点B的抛物线的切线方程为y=2x₂x-x₂².②

联立①②解得设M=(x,y),则

又∵b²=1+k²,∴y²-4x²=1(x∈R,y≤-1或y＞2+),这就是点M的轨迹方程.

(文)解:(1)f′(x)=x²+(a-1)x+b,

由题设得解之,得∴f(x)=x³-x²+4x.

(2)由题设知f(x)＜-(5x-c),即x³-x²+4x＜-(5x-c),∴c＞x³-5x²+13x.

设Q(x)=x³-5x²+13x,x∈［-2,2］.

c只要大于Q(x)的最大值即可.Q′(x)=2x²-10x+13,当x∈［-2,2］时,Q′(x)＞0,

∴Q(x)_max=Q(2)=.∴c＞.