Question

17．已知函数f（x）=x²+2x+1．
（1）g（x）为偶函数，且x≥0，g（x）=f（x），求g（x）的表达式；
（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）的最小值．

Answer 1

分析 （1）设x＜0，则-x＞0，结合函数的奇偶性求出x＜0时g（x）的表达式，从而求出g（x）在R上的表达式；（2）通过讨论t的范围，结合二次函数的性质求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∴g（-x）=x²-2x+1=g（x），
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1，x≥0}\\{{x}^{2}-2x+1，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=（x+1）²，对称轴x=-1，
①t+2≤-1，即t≤-3时：
f（x）_最小值=f（t+2）=（t+3）²；
②t＜-1＜t+2即-3＜t＜-1时：
f（x）_最小值=f（-1）=0，
③t≥-1时：
f（x）_最小值=f（t）=（t+1）²．

点评 本题考查了函数的奇偶性，考查二次函数的性质，函数的最值问题，是一道基础题．