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精英家教网如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB的外接圆为⊙E.
(1)若⊙E与直线CD相切,求实数a的值;
(2)问是否存在这样的⊙E,⊙E上到直线CD的距离为3
2
的点P有且只有三个;若存在,求出⊙E的标准方程;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先求出圆心坐标和半径,由圆心到切线的距离等于半径,解出实数a的值.
(2)由题意得,圆心E到直线CD距离为2
2
,由点到直线的距离公式列出方程,解得a值.
解答:解:(1)由已知,直线CD方程为y=x+4,圆心E(
a
2
a
2
)
,半径r=
2
2
a

由⊙E与直线CD相切,得
|
a
2
-
a
2
+4|
2
=
2
2
a
,解得  a=4.
(2)要使⊙E上到直线CD的距离为3
2
的点P有且只有三个,只须与CD平行且与CD距离为3
2

的两条直线中的一条与⊙E相切,另一条与⊙E相交;∵圆心E到直线CD距离为2
2

∴圆E的半径为2
2
+3
2
=5
2
,即r=
2
2
a=5
2
,解得 a=10.
∴存在满足条件的⊙E,其标准方程为:(x-5)2+(y-5)2 =50.
点评:本题考查点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位置关系.
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