Question

18．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，E_n（n∈N₊）为边AC的一列点，满足$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\frac{1}{4}$a_n+1$\overrightarrow{{E}_{n}B}$-（3a_n+2）$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，其中实数列{a_n}中a_n＞0，a₁=1，则{a_n}的通项公式为（　　）

• A． 3•2^n-1-2
• B． 2ⁿ-1
• C． 3ⁿ-2
• D． 2•3^n-1-1

Answer 1

分析 $\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\frac{1}{4}$a_n+1$\overrightarrow{{E}_{n}B}$-（3a_n+2）$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，$\overrightarrow{{E}_{n}D}$=$\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{B{E}_{n}}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{B{E}_{n}}$，$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{B{E}_{n}}$，可得$（-\frac{1}{4}{a}_{n+1}+3{a}_{n}+3）$$\overrightarrow{B{E}_{n}}$=$\overline{BA}$+$（\frac{9}{4}{a}_{n}+\frac{3}{2}）$$\overrightarrow{BC}$，利用向量共线定理与等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\frac{1}{4}$a_n+1$\overrightarrow{{E}_{n}B}$-（3a_n+2）$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，$\overrightarrow{{E}_{n}D}$=$\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{B{E}_{n}}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{B{E}_{n}}$，$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{B{E}_{n}}$，
∴$（-\frac{1}{4}{a}_{n+1}+3{a}_{n}+3）$$\overrightarrow{B{E}_{n}}$=$\overline{BA}$+$（\frac{9}{4}{a}_{n}+\frac{3}{2}）$$\overrightarrow{BC}$，
∵E_n（n∈N₊）为边AC的一列点，
∴$-\frac{1}{4}{a}_{n+1}$+3a_n+3=1+$\frac{9}{4}{a}_{n}$+$\frac{3}{2}$，
化为：a_n+1=3a_n+2，即a_n+1+1=3（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为3．
∴a_n+1=2×3^n-1，即a_n=2×3^n-1-1，
故选：D．

点评 本题考查了向量共线定理与等比数列的通项公式、数列递推关系、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．