Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx，（ω＞0，a＞0，b＞0）周期为，f（x）最大值为2
（1）写出f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间上的单增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，由周期求出ω，由函数的最大值为 =2，以及 =a，求得a、b的值，即可得到函数的解析式．
（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．再由x∈，进一步确定函数的增区间．
解答：解：（1）∵函数f（x）=asinωx+bcosωx=sin（ωx+∅），其中tan∅=，
由周期等于π可得 =π，由此求得ω=2．
再由最大值为 =2，以及 =a，解得 ，
∴函数f（x）=asinωx+bcosωx=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．
（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得  kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
故在区间上的单增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，辅助角公式的应用，求复合三角函数的周期性和增区间，属于中档题．