分析 (Ⅰ)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,利用向量法能证明AD1⊥B1C.
(2)求出平面A1BD的法向量和平面C1BD的法向量,由此利用向量法能求出二面角A1-BD-C1的正弦值.
解答 证明:(Ⅰ)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,
则A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,1,0),B1(2,1,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),
∴$\overrightarrow{A{D_1}}\;=(\;-2,\;\;0,\;\;2\;),\;\;\overrightarrow{{B_1}C}=\;(\;-2,\;\;1,\;\;-2\;)$,
∴$\overrightarrow{A{D_1}}•\overrightarrow{{B_1}C}=0$,∴$\overrightarrow{A{D_1}}⊥\overrightarrow{{B_1}C}$,
∴AD1⊥B1C.
解:(2)D(0,0,0),$\overrightarrow{DB}$=(2,1,0),$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=(2,0,2),$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=(0,2,2),
设平面A1BD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=\;(\;{x_1},\;\;{y_1},\;\;{z_1}\;)$,
则由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{D{A_1}}=0}\end{array}}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{2{x}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$,
取x1=1,得$\overrightarrow{n_1}=\;(\;1,\;\;-2,\;\;-1\;)$;
设平面C1BD的法向量为$\overrightarrow{n_2}=\;(\;{x_2},\;\;{y_2},\;\;{z_2}\;)$,
则由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{D{C_1}}=0}\end{array}}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}+{y}_{2}=0}\\{2{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$,
取x2=1,得$\overrightarrow{n_2}=\;(\;1,\;\;-2,\;\;2\;)$,
设二面角A1-BD-C1的平面角为θ,
则$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\;\frac{{\sqrt{6}}}{6}$,∴$sinθ=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$.,
∴二面角A1-BD-C1的正弦值为$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$.
点评 本题考查线线垂直的证明,考查二面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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