Question

10．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=DD₁=2AB=2．
（Ⅰ） 求证：AD₁⊥B₁C；
（Ⅱ） 求二面角A₁-BD-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明AD₁⊥B₁C．
（2）求出平面A₁BD的法向量和平面C₁BD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A₁-BD-C₁的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（2，0，0），A₁（2，0，2），B（2，1，0），B₁（2，1，2），C（0，2，0），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{A{D_1}}\;=（\;-2，\;\;0，\;\;2\;），\;\;\overrightarrow{{B_1}C}=\;（\;-2，\;\;1，\;\;-2\;）$，
∴$\overrightarrow{A{D_1}}•\overrightarrow{{B_1}C}=0$，∴$\overrightarrow{A{D_1}}⊥\overrightarrow{{B_1}C}$，
∴AD₁⊥B₁C．
解：（2）D（0，0，0），$\overrightarrow{DB}$=（2，1，0），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），
设平面A₁BD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=\;（\;{x_1}，\;\;{y_1}，\;\;{z_1}\;）$，
则由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{D{A_1}}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{2{x}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取x₁=1，得$\overrightarrow{n_1}=\;（\;1，\;\;-2，\;\;-1\;）$；
设平面C₁BD的法向量为$\overrightarrow{n_2}=\;（\;{x_2}，\;\;{y_2}，\;\;{z_2}\;）$，
则由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{D{C_1}}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}+{y}_{2}=0}\\{2{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
取x₂=1，得$\overrightarrow{n_2}=\;（\;1，\;\;-2，\;\;2\;）$，
设二面角A₁-BD-C₁的平面角为θ，
则$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\;\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，∴$sinθ=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．，
∴二面角A₁-BD-C₁的正弦值为$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．