Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂＋a₃＋a₄＝28，且a₃＋2是a₂，a₄的等差中项．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，求使S_n＋n·2^n＋1＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

（1）a_n＝2ⁿ.  （2）n的最小值为5.　

试题分析：(1)解　设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q.依题意，有2(a₃＋2)＝a₂＋a₄，代入a₂＋a₃＋a₄＝28，可得a₃＝8，∴a₂＋a₄＝20，所以解之得或又∵数列{a_n}单调递增，所以q＝2，a₁＝2，∴数列{a_n}的通项公式为a_n＝2ⁿ.(2)因为b_n＝2ⁿlog2ⁿ＝－n·2ⁿ，所以S_n＝－(1×2＋2×2²＋…＋n·2ⁿ)，2S_n＝－[1×2²＋2×2³＋…＋(n－1)·2ⁿ＋n·2^n＋1]，两式相减，得
S_n＝2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1＝2^n＋1－2－n·2^n＋1.要使S_n＋n·2^n＋1＞50，即2^n＋1－2＞50，即2^n＋1≥52.
易知：当n≤4时，2^n＋1≤2⁵＝32＜52；当n≥5时，2^n＋1≥2⁶＝64＞52.故使S_n＋n·2^n＋1＞50成立的正整数n的最小值为5.　　
点评：主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用，属于基础题。