Question

已知函数f(x)=loga(x2-ax+

a

6

)在(-∞，

1

4

]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：当a＞1时，根据复合函数的单调性，检验不满足条件；当0＜a＜1时，y=log_at 单调递减，根据复合函数的单调性，要使函数f（x）=loga(x2-ax+

a

6

)在(-∞，

1

4

]上单调递增，只要t=x2-ax+

a

6

在(-∞，

1

4

]上单调递减，且t＞0恒成立即可．

解答：解：（1）当a＞1时，由于y=log_at 是（0，+∞）上的增函数，t=x2-ax+

a

6

是(-∞，

1

4

]上的减函数，
根据复合函数的单调性可得，函数f（x）=log_a（x2-ax+

a

6

）在(-∞，

1

4

]上单调递减，故不满足条件．
（2）当0＜a＜1时，由于y=log_at 是（0，+∞）上的减函数，t=x2-ax+

a

6

是（-∞，

a

2

]上的减函数，
故要使函数f（x）=loga(x2-ax+

a

6

)在(-∞，

1

4

]上单调递增，须满足条件：

1 4 ≤ a 2 ( 1 4 )2- 1 4 a+ a 6 ＞0

，解得

1

2

≤a＜

3

4

．
综（1）、（2）得实数a的取值范围是[

1

2

，

3

4

）．
故选C．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，复合函数的单调性，属于中档题．