Question

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f(n)=

an，n为奇数 bn，n为偶数

问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：

1

|p1p2|2

+

1

|p1p3|2

+…+

1

|p1pn|2

＜

2

5

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知P₁（-1，0），a₁=-1，b₁=0，由此可知a_n=n-2，b_n=2n-2．
（Ⅱ）若k为奇数，则f（k）=a_k=k-2f（k+5）=b_k+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5无解．若k为偶数，则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3，由此可知存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．
（Ⅲ）|

p1pn

|2=(n-1)2+4(n-1)2=5(n-1)2，由此入手能够证明，当n≥2，n∈N*时，

1

|p1p2|2

+

1

|p1p3|2

+…+

1

|p1pn|2

＜

2

5

成立．

解答：解：（Ⅰ）由题意知P₁（-1，0）（1分）
∴a₁=-1，b₁=0（2分）
∴a_n=a₁+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴b_n=2a_n+2=2（n-2）+2=2n-2
（Ⅱ）若k为奇数，
则f（k）=a_k=k-2f（k+5）=b_k+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5无解（6分）
若k为偶数，
则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4（8分）
综上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．（9分）
（Ⅲ）证明：|

p1pn

|2=(n-1)2+4(n-1)2=5(n-1)2
（1）当n=2时

1

|p1p2|2

+

1

|p2p3|2

+…+

1

|p1pn|2

=

1

5

＜

2

5

成立．（11分）
（2）当n≥3，n∈N^*时，

1

|p1p2|2

+

1

|p1p3|2

+…+

1

|p1pn|2

=

1

5

[

1

12

+

1

22

+…+

1

(n-1)2

]λx₁²-2λx₁+λ-1=0．（12分）
=

1

5

(1+1-

1

n-1

)＜

1

5

(1+1)=

2

5

成立．（13分）
综上，当n≥2，n∈N*时，

1

|p1p2|2

+

1

|p1p3|2

+…+

1

|p1pn|2

＜

2

5

成立．（14分）

点评：本题考查数列的性质及其综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．