Question

（本小题满分14分）
执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为，，…，，，．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”）
（1）若输入，写出输出结果；
（2）若输入，求数列的通项公式；
（3）若输入，令，求常数（），使得是等比数列．

Answer 1

解（1）输出结果是：0，，．……3分
（2）（法一）由程序框图可知，，，，．
所以，当时，，   …………………5分
，而中的任意一项均不为1，（否则的话，由可以得到，…，与矛盾），
所以，，
（常数），，．故是首项为，公差为的等差数列，    ……………………………7分
所以，，数列的通项公式为，，．…8分
（法二）当时，由程序框图可知，，，，，……
猜想，，．      …………………………………………5分
以下用数学归纳法证明：
①当时，，猜想正确；
②假设（，）时，猜想正确．即，………………7分
那么，当时，
由程序框图可知，．即时，猜想也正确．
由①②，根据数学归纳法原理，猜想正确，，．……8分
（3）（法一）当时，
，
令，则，，． …………10分
此时，，            ………………………………12分
所以，，，又，
故存在常数（），
使得是以为首项，为公比的等比数列．         ……………………………14分
（法二）当时，令，即，解得，…10分
因为，，．
所以，    ①
，② 12分
①÷②，得，
即，，，又，
故存在常数（）
使得是以为首项，为公比的等比数列．         ……………………………14分

略