Question

已知分别为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点, 且
（1）求椭圆的方程;
（2）与圆相切的直线交椭于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）由题意知，即，利用抛物线定义，可求点的坐标，且在椭圆上，利用椭圆的定义可求，从而可求，进而确定椭圆的标准方程；（2）由直线和圆相切的充要条件，得，化简变形为，设，结合已知条件，并结合根与系数的关系，将表示点的坐标用表示出来，再将点的坐标代入椭圆方程，得的方程，同时通过消参，将表示为的形式，再求其值域即得实数的取值范围．
（1）由题知,所以,
又由抛物线定义可知,得,
于是易知,从而,
由椭圆定义知,得,故,
从而椭圆的方程为                                              6分
（2）设,则由知,
,且,   ①
又直线与圆相切,所以有,
由,可得   ②
又联立消去得
且恒成立,且,
所以,所以得        8分
代入①式得,所以
又将②式代入得,,                            10分
易知,所以,
所以的取值范围为                    13分