Question

已知函数y=

2

x

，x∈[3，5]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并利用单调性定义证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义，即可判断函数f（x）的单调性；
（2）利用函数的单调性即可求出函数的最值．

解答： 解：（1）函数y=

2

x

，x∈[3，5]是增函数．
设3≤x₁＜x₂≤5，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

，
∵3≤x₁＜x₂≤5，
∴x₁x₂＞0，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
则f（x₁）＞f（x₂），
即函数在[3，5]是递减的．
（2）∵函数在[3，5]上是递减的，
∴当x=3时，函数取得最大值f（3）=

2

3

，
当x=5时，函数取得最小值f（5）=

2

5

．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，以及利用函数的单调性求函数的最值．