Question

如图，F是抛物线C：y²=2px的焦点，点A（4，2）为抛物线于内一点，点P为抛物线上一动点，|PA|+|PF|的最小值为8
（1）求抛物线方程；
（2）在抛物线内过点F任意作互相垂直的两条弦MN和RS，问是否存在定点Q，使过点Q的动直线同时平分这两条弦，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线的定义可知到焦点的距离即为到准线的距离，再由三点共线距离最短，即可得到最小值，解方程即可得到抛物线方程；
（2）由条件设出设过F（2，0）的直线MN：y=k（x-2），RS：y=-

1

k

（x-2），联立抛物线方程，消去y，运用韦达定理，中点坐标公式，求得两弦的中点，再求它们的直线方程，化简整理即可得到．

解答： 解：（1）∵P点到抛物线的准线x=-

p

2

的距离为d，
由抛物线的定义知d=|PF|，
∴（|PA|+|PF|）_min=（|PA|+d）_min=

p

2

+4，
∴

p

2

+4=8，解得p=8，
∴抛物线的方程为y²=16x．
（2）设过F（2，0）的直线MN：y=k（x-2），
则RS：y=-

1

k

（x-2），
联立抛物线方程y²=16x，消去y，得，
k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
则x₁+x₂=4+

8

k2

，即有MN的中点B（2+

4

k2

，

4

k

），
同理可得RS的中点C（2+4k²，-4k），
假设存在定点Q，使过点Q的动直线同时平分这两条弦，
则直线BC过Q，BC：y-（-4k）=

4 k +4k

4 k2 -4k2

（x-2-4k²），
化简整理可得，y=

k

1-k2

（x-6），
则直线BC恒过定点（6，0）．
故存在定点Q（6，0），使过点Q的动直线同时平分这两条弦．

点评：本题考查抛物线的定义、性质和方程，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理，以及中点坐标公式，考查直线恒过定点的问题，考查运算能力，属于中档题．