Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2

2

，一个边长2的正方形由位置Ⅰ沿AB边平行移动到位置Ⅱ，若移动的距离为x，正方形和三角形的公共部分的面积为f（x）．
（1）求f（x）的解析式；（2）在坐标系中画出函数y=f（x）的草图；
（3）根据图象，指出函数y=f（x）的最大值和单调区间．

Answer 1

分析：（1）将一个边长为2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移动到位置Ⅱ停止，若移动的距离为x，此时正方形和△ABC的公共部分分为三种情况，然后分别求出公共部分的面积为f（x）；
（2）根据分段函数的作图方法进行作图；
（3）根据函数图象可得函数的最大值和函数的单调区间．

解答：解：（1）当x∈[0，2]时，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
∴f（x）=

1

2

x2
当x∈（2，4]时，正方形和△ABC的公共部分是两个直角梯形
f（x）=4-

1

2

(x-2)2-

1

2

(4-x)2
当x∈（4，6]时，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
f（x）=

1

2

[2-(x-4) ]  2
综上所述：f(x)=

1 2 x2 4- 1 2 (x-2)2- 1 2 (4-x)2 1 2 [2-(x-4)]2

x∈[0，2] x∈(2，4] x∈(4，6]

即f(x)=

1 2 x2，(0≤x≤2) -x2+6x-6，(2＜x＜4) 1 2 (x-6)2，(4≤x≤6)

；
（2）分段画出图象

（3）根据图象可知当x=3时，函数值最大为3；
单调增区间为[0，3]，单调减区间为[3，6]．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数的最值及其几何意义和函数图象的作法，属于中档题．