Question

（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；
（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，
∵直线与圆相切，∴，即，       又，即，，解得，，
所以椭圆方程为．        ------------3分
（Ⅱ）设， ，，则，即， 则，，
即，
∴为定值．             ------------6分
（Ⅲ）设，其中．
由已知及点在椭圆上可得，
整理得，其中．----8分
①当时，化简得，
所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；                   -------------9分
②当时，方程变形为，其中，
当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；          -------------11分
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；          -------------12分
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．
-------------13分

略