Question

关于函数f（x）=2-x+lnx，下列说法正确的是（　　）

• A、无零点
• B、有且仅有一个零点
• C、有两个零点x₁，x₂，且（x₁-1）（x₂-1）＞0
• D、有两个零点x₁，x₂，且（x₁-1）（x₂-1）＜0

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，从而判断函数的单调性，结合x→0时，f（x）→-∞，（1）=2-1+0=1＞0，f（e²）=2-e²+2＜0，从而确定函数有两个零点x₁，x₂，且（x₁-1）（x₂-1）＜0．

解答： 解：f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，
则f（x）=2-x+lnx在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又∵x→0时，f（x）→-∞，
f（1）=2-1+0=1＞0，
f（e²）=2-e²+2＜0，
则有两个零点，且在1的两侧；
即有两个零点x₁，x₂，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，
故选D．

点评：本题考查了利用导数确定函数的单调性及函数的零点的确定，属于基础题．