【题目】如图,在五棱锥中,平面
平面
,且
.
(1)已知点在线段
上,确定
的位置,使得
平面
;
(2)点分别在线段
上,若沿直线
将四边形
向上翻折,
与
恰好重合,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)为靠近
的三等分点;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)本题的五棱锥的底面可视为正方形折起一个角,先由线线平行推得面面平行,从而得到线面平行;(2)先证明
中点
与
连线垂直于底面,建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出平面
的法向量,由公式
求出正弦值.
试题解析:解:(1)点为靠近
的三等分点,
在线段取一点
,使得
,连结
∵,∴
.
又,∴四边形
为平行四边形,∴
,
∵点为靠近
的三等分点,∴
,∴
,
∵,∴平面
平面
,而
平面
,∴
平面
(2)取的中点
,连接
,∵
,∴
,又平面
平面
,
∴平面
如图,建立空间直角 坐标系,则
.
设,则
.
∵翻折后,与
重合,∴
,又
,
故,从而,
.
,
设为平面
的一个法向量,
则,
取,则
设直线与平面
所成角为
,则
,
故直线与平面
所成角的正弦值为
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【题目】已知平行四边形中,
,
为
的中点,且△
是等边三角形,沿
把△
折起至
的位置,使得
.
(1)是线段
的中点,求证:
平面
;
(2)求证:;
(3)求点到平面
的距离.
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【题目】下列命题错误的是 ( )
A. 如果平面平面
,那么平面
内一定存在直线平行于平面
B. 如果平面不垂直平面
,那么平面
内一定不存在直线垂直于平面
C. 如果平面平面
,平面
平面
,且
,那么
D. 如果平面平面
,那么平面
内所有直线都垂直于平面
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【题目】(1)求的展开式中
的系数及展开式中各项系数之和;
(2)从0,2,3,4,5,6这6个数字中任取4个组成一个无重复数字的四位数,求满足条件的四位数的个数.
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【题目】已知函数,其中
是自然对数的底数.
(1)若曲线在
处的切线方程为
.求实数
的值;
(2)①若时,函数
既有极大值,又有极小值,求实数
的取值范围;
②若,若
对一切正实数
恒成立,求实数
的取值范围(用
表示).
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【题目】已知,函数
.
(1)求证:曲线在点
处的切线过定点;
(2)若是
在区间
上的极大值,但不是最大值,求实数
的取值范围;
(3)求证:对任意给定的正数,总存在
,使得
在
上为单调函数.
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