Question

已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1，若过点（2，

3

-1）的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，则直线l的倾斜角为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：首先，根据题意，求解该圆的标准方程，然后，分情况进行讨论，从而得到结果．

解答： 解：设A（-1，0），B（3，0），D（0，1），
则AB中垂线为x=1，AD中垂线为y=-x，
∴圆心C（x，y）满足

x=1 y=-x

，
∴C（1，-1），
∴半径r=|CD|=

1+4

=

5

，
则圆C的标准方程为（x-1）²+（y+1）²=5； 
当斜率不存在时，直线l：x=2到圆心的距离为1，亦满足题意，直线l的倾斜角为90°；
当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）+

3

-1，由弦长为4，
∴圆心（1，-1）到直线l的距离为

5-4

=1，
∴

|k(1-2)+1+ 3 -1|

1+k2

=1，
∴k=

3

3

，
此时直线l的倾斜角为30°，
综上所述，直线l的倾斜角为30°或90°
故答案为：30°或90°．

点评：本题重点考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程、直线的斜率公式等知识，属于中档题．解题关键是正确求解圆的标准方程．