【题目】在时钟的表盘上作9个
的扇形，每一个都覆盖4个数字，每两个覆盖的数字不全相同.求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘.举一个反例说明，作8个扇形将不具有上述性质.
【答案】见解析
【解析】
证明1 取所作扇形所覆盖的第一个数字（均按顺时针方向计算）记为
，
，…，
. ①
由各个扇形覆盖的数字不全相同知，上述9个数字互不相同.因此，钟面上的12个数字中，还有3个不在①中，记为
，
，
. ②
这样，在①中必存在一个数
，使
关于模4与，，均不同余，这时数组
，
，
（其中
）所对应的三个扇形恰好盖住了钟面上的12个数字.又由的取法知，
，
，
均不属于②，即其所对应的3个扇形属于已作的那9个扇形.
证明2 符合条件的扇形共可作12个：
，
其中
，且，
.
将这12个扇形分成四组：
第一组 
，
，
；
第二组 
，
，
；
第三组 
，
，
；
第四组 
，
，
.
每一组都能覆盖整个表盘.当任作9个扇形时，相当于从上述4组中取出9个元素，由
知，必存在3个元素属于同一组，这同一组的三个扇形便覆盖了整个钟面.
智趣寒假作业云南科技出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知圆
，圆心为点
，点
是圆内一个定点，
是圆上任意一点，线段
的垂直平分线
和半径
相交于点
在圆上运动.
（l）求动点
的轨迹
的方程;
（2）若
为曲线上任意一点，
|的最大值;
（3）经过点
且斜率为
的直线交曲线于
两点在
轴上是否存在定点
，使得
恒成立？若存在，求出点坐标：若不存在，说明理由.
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【题目】已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).
（1）若曲线y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y=x，求a、b的值；
（2）若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.
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【题目】已知椭圆
：
（
）的左，右顶点分别为
，
，长轴长为
，且经过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
为椭圆上异于，的任意一点，证明：直线
，
的斜率的乘积为定值；
（3）已知两条互相垂直的直线
，
都经过椭圆的右焦点
，与椭圆交于
，
和，
四点，求四边形
面积的取值范围.
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【题目】对于定义在区间D上的函数
:若存在闭区间
和常数e，使得对任意
，都有
，且对任意
，当
时，
恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.
（1）判断函数
和
是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）若函数
是区间
上的“平底型”函数，求m和n的值.
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【题目】甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
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【题目】已知平面直角坐标系
中，过点
的直线l的参数方程为
(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
与曲线C相交于不同的两点M，N．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若
，求实数a的值．
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