Question

如图所示，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB，PC的中点，
（1）求直线MN和AD所成角；
（2）求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）由题设条件及几何体的直观图可证得直线MN和AD所成角即直线AE和AD所成角，在△PAD是等腰三角形中，即可得到直线AE和AD所成角角的大小；
（2）观察图形，取PD中点E，连接AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点可证得四边形AMNE是平行四边形，得出MN∥AE，再证明AE⊥平面PCD即可得到MN⊥平面PCD

解答：证明：（1）取PD中点E，连结AE和NE
因为M、N分别是AB，PC的中点，△PCD中，NE∥CD∥AB，且NE=AM
所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，
所以直线MN和AD所成角即直线AE和AD所成角
PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，△PAD是等腰三角形，
则直线AE和AD所成角为45度；
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以面PAD⊥平面ABCD且交于AD，
又因为四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，
又因为△PAD是等腰三角形，所以PA=AD，所以AE⊥PD
所以AE⊥面PCD，又因为 MN∥AE
所以MN⊥平面PCD．

点评：本题第一问中求异面直线所成的角，其作法也是要先作角，证角，求角，几何中求角的题其做题步骤基本上都分为此三步，做题后注意总结一下这个规律，本题中第二小问证明线面垂直，要注意正确使用判定定理．