Question

如图，已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜

π

2

）图象上一个最高点坐标为（2，2

3

），这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点（5，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在正整数m，使得将函数f（x）的图象向右平移m个单位后得到一个偶函数的图象？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的图象确定A，ω，φ．其中最值确定A，周期大小确定ω，利用定点（2，2

3

），确定φ．
（2）利用函数的平移得到偶函数的条件，然后求出m．

解答：解：（1）由图象知A=2

3

，

T

4

=3，
∴T=12，∴ω=

2π

T

=

π

6

，
∴f（x）=2

3

sin（

π

6

x+φ），
∵图象过（2，2

3

），∴2

3

=2

3

sin（

π

6

×2+φ），
∴sin（

π

6

×2+φ）=1，
令

π

3

+φ=

π

2

，∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2

3

sin（

π

6

x+

π

6

）．
（2）假设存在m，则有
f（x-m）=2

3

sin[

π

6

（x-m）+

π

6

]=2

3

sin[

π

6

x+

π

6

（1-m）]
∵f（x-m）为偶函数，
∴

π

6

（1-m）=

π

2

+kπ，k∈Z
∴m=-6k-2，∴k=-1时m=4．
∴存在m，m的最小值为4．

点评：本题的考点是三角函数的图象和性质，以及三角函数的图象平移，要求熟练掌握三角函数之间的变换技巧．