Question

已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
（1）求证：函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x₁＜x₂≤0，则-x₁＞-x₂≥0，利用f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数的性质得出不等式，再由偶函数的性质即可得出f（x₁）＞f（x₂），再由定义即可得出单调性；
（2）由于函数是一个偶函数，故可以分两类来解这个不等式，即lgx＜0与lgx＞0两类来讨论．

解答：解：（1）证明：设x₁＜x₂≤0，则-x₁＞-x₂≥0
∵f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又定义在实数集R上的偶函数f（x）
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂），f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数
（2）当0＜x≤1时，lgx＜0
由f（1）＜f（lgx）得f（-1）＜f（lgx），函数f（x）在区间（-∞，0]上时单调减函数
∴-1＞lgx，0＜x＜

1

10

当x≥1时，lgx＞0
由f（1）＜f（lgx），f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数
∴lgx＞1，x＞10
综上所述，x的取值范围是(0，

1

10

]∪?[10，+∞)

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，求解问题的关键是正确理解函数的性质并能用这些性质进行灵活变形转化证明问题．本题中的函数是抽象函数，故证明问题时要注意依据题设灵活转化．本题中的易错点是第二问求解时易丢掉一部分解，做题时要注意考虑完善．