Question

14．设F₁、F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则PM+PF₁的最大值为15．

Answer 1

分析 由椭圆的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PM|+|PF₁|=|PM|+2a-|PF₂|≤10+|MF₂|，即可得出．

解答 解：如图所示，
由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1可得：a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3．
∴F₁（-3，0），F₂（3，0），
由椭圆的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
∴|PM|+|PF₁|=|PM|+2a-|PF₂|=10+（|PM|-|PF₂|）≤10+|MF₂|=10+$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=15，
则|PM|+|PF₁|的最大值为15．
故答案为：15．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形三边大小关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．