Question

【题目】已知椭圆：（）的左焦点为，是上一点，且与轴垂直，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，且，且的面积是，其中是坐标原点.

（1）求椭圆的方程.

（2）若过点的直线，互相垂直，且分别与椭圆交于点，，，四点，求四边形的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）依题意可设，则有，解出即可；

（2）分类讨论，当，时，；

当，斜率存在时，设：，：，分别联立椭圆方程，利用韦达定理求出，，再根据面积公式以及基本不等式即可求出答案．

解：（1）依题意画出下图可设，，，

则有：，解得，

∴椭圆的标准方程为；

（2）①当，时，；

②当，斜率存在时，设：，：，分别联立椭圆方程，

联立得，

∴，，

∴，

同理，

∴，

当且仅当即即时等号成立，

故四边形的面积的最小值．