Question

5．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin2x+2，cosx），\overrightarrow n=（1，2cosx）$，函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在$（{-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$上的值域；
（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，及正弦函数的图象和性质，即可得到所求；
（2）运用特殊角的正弦函数值，求得A，再由三角形的面积公式，可得c，再由余弦定理可得a．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin2x+2，cosx），\overrightarrow n=（1，2cosx）$，
函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=2+$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x=3+$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=3+2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
可得函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
x∈$（{-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，即有2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
则在$（{-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$上的值域为（2，5]；
（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
可得3+2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=4，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π，可得$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
可得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$，
由$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•4c•sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$c，
解得c=1，
则a²=b²+c²-2bccosA=16+1-8×$\frac{1}{2}$=13，
即a=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，平面向量数量积的坐标表示，以及正弦函数的图象和性质，以及三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．