已知是椭圆
和双曲线
的公共顶点。
是双曲线上的动点,
是椭圆上的动点(
、
都异于
、
),且满足
,其中
,设直线
、
、
、
的斜率分别记为
,
,则
-5
解析试题分析:设出点P、M的坐标,代入双曲线和椭圆的方程,再利用已知满足
及其斜率的计算公式即可求出.解:∵A,B是椭圆和双曲线
的公共顶点,∴(不妨设)A(﹣a,0),B(a,0).
设P(x1,y1),M(x2,y2),∵,其中λ∈R,∴(x1+a,y1)+(x1﹣a,y1)=λ[(x2+a,y2)+(x2﹣a,y2)],化为x1y2=x2y1.
∵P、M都异于A、B,∴y1≠0,y2≠0.∴.
由k1+k2==5,化为
,(*)
又∵,∴
,代入(*)化为
.
k3+k4==
,又
,
∴,
∴k3+k4==
=﹣5.
故答案为﹣5.
考点:双曲线和椭圆的方程
点评:熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的运算性质、斜率的计算公式是解题的关键,同时本题需要较强的计算能力
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